Die Logik |
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Was ist Logik?
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Die Logik (vom griechischen "logos": Wort, Rede, Aussage, Behauptung,
Vernunft,...) wurde als "Wissenschaft vom richtigen Schließen" von
Aristoteles (384-322) begründet und hat, durch Mittelalter bis zu Kant und
Hegel, die verschiedensten philosophischen und theologischen Erweiterungen
erfahren. Logik ist demnach die Lehre von den Prinzipien des richtigen, d. h. schlüssigen Denkens und Beweisführens. Als logisch richtig wird diejenige Beziehung zwischen Voraussetzungen und Schluß angesehen, bei der wahre Voraussetzungen zu einem wahren Schluß führen. Zwischen der Gültigkeit einer Beweisführung und der Richtigkeit eines Schlusses muß allerdings unterschieden werden. Wenn eine oder mehrere Voraussetzungen einer Schlußfolgerung falsch sind, kann der Schluß einer in sich formal gültigen Beweisführung falsch sein. So z. B. geht die gültige Beweisführung "Alle Säugetiere sind Vierfüßer, alle Menschen sind Säugetiere, also sind alle Menschen Vierfüßer" von einer falschen Voraussetzung aus und führt deshalb zu einer falschen Aussage. Andererseits kann ein ungültiger Schluß unter Umständen zu einer wahren Aussage führen: "Einige Tiere sind Zweifüßer, alle Menschen sind Tiere, daher sind alle Menschen Zweifüßer". Die logische Gültigkeit einer Schlußfolgerung hängt demzufolge von der Art der Beweisführung und nicht von ihrem Inhalt ab. Wäre die Beweisführung gültig, könnten die darin verwendeten Begriffe beliebig ausgetauscht werden, ohne die Gültigkeit zu beeinträchtigen. Indem nun "Vierfüßer" durch "Zweifüßer" ersetzt wurde, wird offensichtlich, daß von richtigen Voraussetzungen ausgehend, ein falscher Schluß erzielt werden kann. Somit ist die Beweisführung ungültig, obwohl sie zu einer richtigen Aussage führt. |
Aristotelische Logik
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Aristoteles gilt als Begründer der klassischen, syllogistischen
Logik. Ein Syllogismus ist ein logischer Schluß, der sich auf Prämissen
in einer der vier Formen stützt:
Die Buchstaben stehen für allgemeine Substantive wie "Hund", "Vierfüßer", "Lebewesen", die Begriffe des Syllogismus genannt werden. Ein vollständiger Syllogismus besteht aus zwei Prämissen (oder Voraussetzungen) und einer Konklusion (oder Schluß), wobei jede Prämisse einen Begriff mit der anderen Prämisse und einen Begriff mit der Konklusion gemeinsam hat. In der klassischen Logik sind die Regeln formuliert, anhand derer die vollständigen Syllogismen als gültige oder ungültige Beweisformen klassifiziert werden können. |
Moderne Logik (Logistik)
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Mitte des 19. Jahrhunderts haben die britischen
Mathematiker George Boole und Augustus De Morgan einen neuen Bereich
der Logik, heute als symbolische oder moderne Logik bzw. Logistik bekannt,
erschlossen. Diese Form der Logik wurde von dem deutschen Mathematiker
Gottlob Frege und insbesondere von den britischen Mathematikern
Bertrand Russell und Alfred North Whitehead in der Principia
Mathematica weiterentwickelt.
Sowohl die klassische wie auch die moderne Logik sind Systeme der Deduktion. In einem gewissen Sinn enthalten die Prämissen eines gültigen Beweises den Schluß, und die Richtigkeit des Schlusses wird mit Gewißheit aus der Richtigkeit der Prämissen gefolgert. Es bestanden auch Bestrebungen, induktive logische Systeme zu entwickeln, bei denen die Prämissen den Beweis für den Schluß erbringen, die Richtigkeit des Schlusses jedoch nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit aus der Richtigkeit der erwiesenen Prämissen gefolgert werden kann.
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Die mathematische Logik
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Die mathematische Logik teilt sich in mehrere aktive Gebiete der
Mathematik auf, die sich aus gemeinsamen historischen Wurzeln zu Beginn des
20. Jahrhunderts entwickelt haben. In allen diesen Bereichen spielt die Art
und Weise, wie man Mathematik formalisieren kann, eine entscheidende Rolle:
entweder wird dies selbst zum Objekt von Mathematik, oder daraus ergeben
sich spezifische mathematische Techniken. Die wichtigsten Bereiche sind:
Ausgangspunkt für die Entwicklung der mathematischen Logik war die Erkenntnis, daß es zu Widersprüchen führen kann, wenn man, grob gesagt, unkontrolliert Mathematik betreibt außerhalb gewisser Grundfesten der Anschauung. Daraus ist der Versuch entstanden, den Begriff des mathematischen Schließens formal zu fassen und beweisen zu wollen, daß in bestimmten mathematischen Systemen (d.h. unter einer Auswahl zugelassener Axiome und Schlußregeln) Widersprüche nicht auftreten können. Dieses sogenannt Hilbertsche Programm wurde erfolgreich angesetzt, ist dann aber mit Gödels Unvollständigkeitsatz auf grundsätzliche Grenzen gestoßen und wurde seitdem kaum mehr weitergeführt. Inzwischen hatte sich aber aus den eingeführten Begriffen und Techniken eine reichhaltige neue Mathematik entwickelt:
Während ursprünglich die mathematische Logik (auch unter dem Namen Metamathematik) der Philosophie sehr nahestand, ist diese Verbindung in der derzeitigen Forschung in den Hintergrund gerückt. Je nach Teilgebiet der mathematische Logik gibt es aber enge Bezüge zur Algebra oder zur theoretischen Informatik. |
Quellen: |
Microsoft Encarta 1999. Brockhaus 1998. Junker, Markus (2000). Was ist Mathematische Logik? WWW: http://logik.mathematik.uni-freiburg.de/forschung/logik.html (01-01-05) |